اعداد مختلط در متلب
به نام خدا و سلام.
به جلسه سیزدهم از سری جلسات آموزش نرم افزار متلب خوش آمدید. آموزش صفر تا صد متلب از وبسایت متلبپلاس ارائه میشود. در این جلسه به معرفی اعداد مختلط در نرم افزار متلب به طور کامل میپردازیم. نحوه ایجاد عدد مختلط در متلب، تفکیک بخش حقیقی و موهومی، اندازه و زاویه عدد مختلط، مزدوج مختلط و… از مباحث این جلسه هستند.
با متلب پلاس همراه باشید.
مقدمهای بر اعداد مختلط در متلب
در این جلسه از آموزش کدنویسی در متلب، با اعداد مختلط آشنا میشویم. قبل از آن لازم است یک یادآوری کوچک از ریاضیات داشته باشیم. در ریاضیات، به طور کلی دو دسته اعداد وجود دارند. اعداد حقیقی و اعداد مختلط. هر عدد مختلط (Complex Number) از دو بخش حقیقی (Real) و موهومی (Imaginary) تشکیل شدهاست. به همین دلیل به آن عدد مختلط (ترکیبی) میگویند. از قبل با اعداد حقیقی آشنا هستیم، اما اعداد موهومی در واقع اعدادی هستند که اگر به توان 2 برسند، منفی خواهند شد. شاخصه اصلی اعداد موهومی، i است. طبق تعریف، i برابر با جذر عدد منفی یک میباشد. هر عدد موهومی، دارای نماد i است. مثلا 2i یک عدد موهومی میباشد. ترکیب اعداد موهومی و حقیقی منجر به تشکیل اعداد مختلط میشود. مثلا 3 + 2i یک عدد مختلط است. بخش حقیقی آن 3 و بخش موهومی آن 2 است.
حال به بحث اعداد مختلط در متلب میپردازیم. لطفا نرم افزار متلب را باز کنید و تمام مثالهایی که در ادامه میآیند را شما هم بنویسید!
نحوه تعریف اعداد مختلط در متلب
برای تعریف عدد مختلط در متلب، از حرف i یا j استفاده میکنیم. به همان شکلی که در ریاضیات یک عدد مختلط را مینویسیم، در متلب عمل میکنیم. مثلا برای نوشتن عدد مختلط 3 + 2i در متلب داریم.
3 + 2j
ans =
3.0000 + 2.0000i
3 + 2i
ans =
3.0000 + 2.0000i
توجه داشته باشید که i با j هیچ تفاوتی ندارد و هر دو معادل هم هستند. در مثالهای بالا یکبار با i و یکبار با j عدد مختلط تعریف کردیم. نکتهی دیگری که باید توجه کرد این است که در ایجاد عدد مختلط در متلب، نیازی به نوشتن ضرب * بین عدد و i نیست.
مشابه با ایجاد بردار و ماتریسهای عددی در متلب، میتوان آرایهای از اعداد مختلط ایجاد کرد. مثلا یک ماتریس 2×2 از اعداد مختلط ایجاد میکنیم.
A = [1+i 5i; 2+j 3]
A =
1.0000 + 1.0000i 0.0000 + 5.0000i
2.0000 + 1.0000i 3.0000 + 0.0000i
برای ایجاد عدد مختلط در متلب از دستور complex(a,b) نیز میتوان استفاده کرد. که در آن a بخش حقیقی و b بخش موهومی عدد مختلط میباشد. البته ایجاد عدد مختلط با i یا j رایجتر و راحتتر است.
complex(3,2)
ans =
3.0000 + 2.0000i
هنگام انجام محاسبات نیز چنانچه خروجی یک عدد مختلط باشد، متلب به همان شکل فوق، عدد مختلط را نمایش میدهد. مثلا اگر جذر یک عدد منفی را بگیریم؛ داریم:
sqrt(-20)
ans =
0.0000 + 4.4721i
جداسازی بخش موهومی و حقیقی یک عدد مختلط در متلب
همانطور که گفتیم، یک عدد مختلط دارای 2 بخش است. بخش حقیقی و بخش موهومی. برای استخراج بخش حقیقی و موهومی یک عدد مختلط در متلب از دستور real و imag استفاده میکنیم. دستور real بخش حقیقی و دستور imag بخش موهومی عدد مختلط را میدهد. این دستورات میتوانند روی بردار یا ماتریس (آرایه) نیز بکار روند.
A = [1+i 5i; 2+j 3];
real(A)
ans =
1 0
2 3
imag(A)
ans =
1 5
1 0
a = 3 + 4i;
real(a)
ans =
3
imag(a)
ans =
4
تکنیک جدا کردن بخش حقیقی و موهومی یک عدد مختلط بسیار مفید است. از این تکنیک در محاسبات ریاضی استفاده میشود.
ضرب و تقسیم اعداد مختلط در متلب
ضرب و تقسیم اعداد مختلط در متلب مشابه با اعداد حقیقی است. هیچ تفاوتی از نظر نوشتار در متلب وجود ندارد. در مثال زیر دو عدد مختلط ایجاد شده و سپس جمع، تفریق، ضرب و تقسیم آنها محاسبه میشود. برای خوانایی بهتر، همه محاسبات را درون یک براکت (بصورت بردار ستونی) نوشتهایم.
a = 3 + 4i;
b = 2 + 5i;
c = [a - b; a + b; a*b; a/b]
c =
1.0000 - 1.0000i
5.0000 + 9.0000i
-14.000 + 23.000i
0.8966 - 0.2414i
محاسبه اندازه و زاویه اعداد مختلط در متلب
عدد مختلط a + bi را درنظر بگیرید. چنانچه بخش حقیقی این عدد را روی محور افقی (x) و بخش موهومی آن را روی محور عمودی (y) نشان دهیم. یک بردار تشکیل میشود. اندازه این بردار، اندازه عدد مختلط و زاویه این بردار با محور افقی، زاویه فاز عدد مختلط است. اندازه و زاویه فاز، یک مشخصه بسیار مهم اعداد مختلط است. در واقع شکل دیگری برای نمایش اعداد مختلط در ریاضیات داریم که بصورت z = r*exp(i*theta) است. در این نوشتار، r اندازه و تتا زاویه فاز است.
برای محاسبه اندازه و زاویه فاز یک عدد مختلط در متلب از دستور abs و angle استفاده میشود. دستور abs اندازه یک عدد مختلط (و یا هر بردار) را محاسبه میکند. دستور angle نیز زاویه فاز عدد مختلط را میدهد. مثلا:
a = 3 + 4i;
abs(a)
ans =
5
angle(a)
ans =
0.9273
توجه داشته باشید که دستور angle مقدار زاویه فاز را برحسب رادیان بیان میکند. برای تبدیل رادیان به درجه از دستور rad2deg کمک میگیریم. مثلا برای تبدیل زاویه فاز عدد مختلط مثال بالا داریم:
rad2deg(ans)
ans =
53.1301
بیان عدد مختلط در سیستم قطبی
همانطور که اشاره شد، شکل دیگری برای نوشتن عدد مختلط در ریاضی داریم که به فرم قطبی معروف است. این سبک ارائه اعداد مختلط به نام فرمول اویلر نیز شناخته شده است. در واقع z = a + bi در سیستم مختصات مستطیلی تعریف شده و z = r*exp(i*theta) در سیستم قطبی میباشد. در این فرم، r اندازه و تتا زاویه عدد مختلط است. هردوی این فرم از اعداد مختلط، برابر و معادل اند. در متلب نیز میتوانیم یک عدد مختلط را به صورت قطبی بنویسیم. برای نوشتن یک عدد مختلط به صورت قطبی، بایستی اندازه و زاویه آن عدد مختلط را بدانیم. به مثال زیر توجه کنید.
میخواهیم عدد مختلط z = 3 + 4i را به فرم قطبی بنویسیم.
z = 3 + 4i;
r = abs(z);
theta = angle(z);
z_new = r*exp(i*theta)
z_new =
3.0000 + 4.0000i
البته بجای اینکه اندازه و زاویه عدد مختلط را برای نمایش قطبی محاسبه کنیم، میتوان از دستور cart2pol(x,y) استفاده کرد. cart2pol(x,y) عدد مختلط را از سیستم کارتزین به سیستم قطبی تبدیل میکند.
محاسبه مزدوج یک عدد مختلط در متلب
هر عدد مختلط در ریاضی دارای یک مزدوج (Complex Conjugate) است. مزدوج هر عدد مختلط، همان عدد مختلط است که علامت بخش موهومیاش قرینه عدد اصلی میباشد. یعنی اگر c = a + bi باشد، مزدوج مختلط آن d = a – bi است. برای محاسبه مزدوج یک عدد مختلط در متلب از دستور conj استفاده میشود.
a = 3 + 4i;
conj(a)
ans =
3.0000 - 4.0000i
خاصیت مزدوج مختلط این است که اگر هر عدد مختلط در مزدوجش ضرب شود، حاصل یک عدد حقیقی خواهد بود. برای درک بهتر، عدد مختلط a را در مزدوجش ضرب میکنیم.
a = 3 + 4i;
a * conj(a)
ans =
25
تمرینات این جلسه
در انتهای این جلسه 3 تمرین متلب مربوط به مباحث این جلسه ارائه شده است. لطفا این تمرینها را حل کرده و با پاسخ آن مقایسه کنید. پاسخ تمرینات متلب این جلسه در کانال تلگرام متلب پلاس منتشر میشود. از آیکونهای سمت راست صفحه میتوانید در این کانال عضو شوید.
تمرین اول) اندازه و زاویه (برحسب درجه) عدد مختلط z = 2 – 7i را محاسبه کنید.
تمرین دوم) مزدوج مختلط عدد z = 15i – 4 را بیابید.
تمرین سوم) بخش حقیقی و موهومی عدد مختلط c = 2 + 5i را با دستورات متلب بیابید.
جمعبندی
خب، جلسه سیزدهم از سری جلسات آموزش متلب به پایان رسید. این جلسه درباره اعداد مختلط در متلب صحبت کردیم. نحوه ایجاد اعداد مختلط، مزدوج آنها، اندازه و زاویه عدد مختلط، جداکردن بخش حقیقی و موهومی و… از مباحث این جلسه بود. سعی ما انتقال مفاهیم به زبانی ساده و ارائه مثالهای متنوع بود. در انتها چند تمرین برای یادگیری بیشتر به شما واگذار کردیم که پاسخ آنها در کانال تلگرامی متلب پلاس وجود دارد. بی صبرانه منتظر نظرات، سوال و ابهامات شما عزیزان هستیم. سعی میکنیم تا هرگونه سوال یا ابهامی که در این باره دارید را پاسخ دهیم.
توصیه میشود که حتما تمرینات این جلسه را انجام بدید و اگر سوال و ابهامی دارید در بخش نظرات (پایین همین صفحه) به ما بگید. از فهرست سمت راست هم میتونید به بقیه جلسات دسترسی داشته باشید.
2 Comments
به گفتگوی ما بپیوندید و دیدگاه خود را با ما در میان بگذارید.
سلام به یکی از بهترین سایت های دنیا 😉
واقعا دمتون گرم عالی اید
سلام علیرضا جان
خیلی خیلی خوشحالیم که از کیفیت آموزش متلب راضی بودی!
ممنون از اینکه نظرت رو با ما به اشتراک گذاشتی!